\section{正交变换}

\begin{frame}{正交变换}

在解析几何中，我们有正交变换的概念。 正交变换就是保持点之间的距离不变的变换。
\pause
在一般的欧氏空间中，我们有
\begin{definition}
  欧氏空间 $V$ 的线性变换 $\symscr{A}$ 称为\emph{正交变换}，如果它保持向量的内积不变，即对于任意的 $ \alpha,  \beta \in V$, 都有
  \[
  \pair{\mathscr{A}  \alpha,  \mathscr{A}  \beta}=\pair{ \alpha,   \beta} .
\]
\end{definition}
\pause
正交变换可以从几个不同的方面来加以刻画。
\begin{theorem}\label{181}
设 $\mathscr{A}$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 的一个线性变换， 那么下列条件是等价的：
\begin{enumerate}
      \item $\mathscr{A}$ 是正交变换（即$\sA$保内积）;
        \item $\mathscr{A}$ 保持向量的长度不变， 即对于 $\alpha \in V,|\mathscr{A} \alpha|=|\alpha|$;
          \item 如果 $ \varepsilon_{1},  \varepsilon_{2}, \cdots,  \varepsilon_{n}$ 是标准正交基，那么 $\mathscr{A}  \varepsilon_{1}, \mathscr{A}  \varepsilon_{2}, \cdots, \mathscr{A}  \varepsilon_{n}$ 也是标准正交基;
            \item  $\mathscr{A}$ 在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵。
            \item $\sA\colon V\rightarrow V$是欧氏空间$V$到自身的同构。
              \end{enumerate}
          \end{theorem}
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{proof}

    我们证明 (1)$\Rightarrow$(2)$\Rightarrow$(3)$\Rightarrow$(4)$\Rightarrow$(5)$\Rightarrow$(1).

  (1)$\Rightarrow$(2) 我们有$\norm{\sA \alpha}^2=\pair{\sA \alpha, \sA \alpha}=\pair{\alpha, \alpha}=\norm{\alpha}^2$.

  (2)$\Rightarrow$(3) 显然$\norm{\sA \varepsilon_i}=\norm{\varepsilon_i}=1$. 对$i\neq j$, 
  \begin{align*}
    2&= \norm{\varepsilon_i}^2+\norm{\varepsilon_j}^2= \norm{\varepsilon_i+\varepsilon_j}^2=\norm{\sA \varepsilon_i+\sA \varepsilon_j}^2 \\
    &=  \norm{\sA \varepsilon_i}^2 +  2\pair{\sA \varepsilon_i, \sA \varepsilon_j} + \norm{\sA \varepsilon_j}^2 \\
    &=  2 + 2\pair{\sA \varepsilon_i, \sA \varepsilon_j}
  \end{align*}
  表明
    $\pair{\sA \varepsilon_i, \sA \varepsilon_j}=0.$
  这样$\sA \varepsilon_1, \cdots, \sA \varepsilon_n$是标准正交基。

  (3)$\Rightarrow$(4) 设$\varepsilon_1, \cdots, \varepsilon_n$是一组标准正交基, 
  那么按假定$\sA \varepsilon_1, \cdots, \sA \varepsilon_n$也是一组标准正交基。
  设$(\sA \varepsilon_1, \cdots, \sA \varepsilon_n)=(\varepsilon_1, \cdots, \varepsilon_n)A$.
  那么$A$作为标准正交基之间的过渡矩阵是正交矩阵。

  (4)$\Rightarrow$(5) 设$\sA$在标准正交基$\symbb{B} $下的矩阵为$A$. 
  按假定$A$是正交矩阵。这样 $\sA$的矩阵可逆，$\sA$为可逆的线性变换。
  又对$\alpha, \beta\in V$, 
  设$\alpha, \beta$在$\symbb{B} $下的坐标向量分别为$X, Y$, 
  那么$\sA \alpha, \sA \beta$的坐标向量分别为$AX, AY$.
  这时
  \[
    \pair{\sA \alpha, \sA \beta} = (AX)^{\rT} AY=X^{\rT} A^{\rT} AY=X^{\rT} Y=\pair{\alpha, \beta}.
  \]
因此$\sA$保持内积。这样$\sA$为欧氏空间的同构。
  
(5)$\Rightarrow$(1) 按定义有$\sA$作为同构保持内积，因此$\sA$是正交变换。
\end{proof}
从证明过程可知，(3) 可换成 (3') 存在一组标准正交基 $ \varepsilon_{1},  \varepsilon_{2}, \cdots,  \varepsilon_{n}$ 使得 $\mathscr{A}  \varepsilon_{1}, \mathscr{A}  \varepsilon_{2}, \cdots, \mathscr{A}  \varepsilon_{n}$ 也是标准正交基；
(4) 可换成 (4') 存在 一组标准正交基使得 $\mathscr{A}$ 在该基下的矩阵是正交矩阵。
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{sizheng}
殊途同归。达到目的的途径不见得惟一，不必囿于一隅。再比如，制造量子计算机的方法有很多种。``美国的``Cycamore''用的是超导电路，中国的``九章''用的是光学。但绝不是说美国就把自己固定在超导上了，中国就把自己固定在光学上了。实际情况是，所有人都在尝试所有技术路线。例如，单单一个潘建伟研究组就既有人做光学，也有人做超导，还有在做冷原子，等等。''（取自袁岚峰《量子信息简话》）。
\end{sizheng}

这样，在标准正交基下，第七章定理~\ref{19F}~中对一线性变换取其矩阵给出的一一对应
限制为正交变换与正交矩阵之间的一一对应。
  我们知道这个对应保持乘积，因而，
  从正交矩阵的性质 (引理~\ref{182}) 可得正交变换如下的一些性质：
  \begin{lemma}
  \begin{enumerate}
    \item 正交变换的行列式等于 $1$ 或者 $-1$. 
    \item 正交变换可逆，且逆变换是正交变换。
    \item 正交变换的乘积是正交变换。
  \end{enumerate}
\end{lemma}


(2)(3) 可更直接地从正交变换就是一个欧氏空间到自身的同构这点得到，
因为我们已从引理~\ref{180}~知道：
欧氏空间之间的同构映射的逆是同构，同构映射的复合也是同构。

%\pause
%因为正交矩阵是可逆的，所以正交变换是可逆的。 
%\pause
%由定义不难看出，\emph{正交变换实际上就是一个欧氏空间到它自身的同构映射}（\S3), 
%\pause
%因而正交变换的乘积与正交变换的逆变换还是正交变换。
%\pause
%在标准正交基下，正交变换与正交矩阵一一对应，因此，\emph{正交矩阵的乘积与正交矩阵的逆矩阵也是正交矩阵}。

\pause
行列式等于 $1$ 的正交变换通常称为\emph{旋转}，或者称为\emph{第一类}的%
\footnote{通过基的等价类可对欧氏空间定向。第一类正交变换就是保定向的自同构；第二类就是改变定向的自同构。}
；行列式等于 $-1$ 的正交变换称为\emph{第二类}的。

\end{frame}

\begin{frame}

\begin{example}
在欧氏空间中任取一组标准正交基 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}$, 定义线性变换
\[
\mathscr{A} \varepsilon_{1}=-\varepsilon_{1}, \quad \mathscr{A} \varepsilon_{i}=\varepsilon_{i}, \quad i=2, \cdots, n .
\]
那么， $\mathscr{A}$ 就是一个第二类的正交变换。 
\pause
从几何上看， 这是一个\emph{镜面反射}，即存在一个单位向量$\eta$（显然这里可取$\eta=\varepsilon_1$）使得对任意的$\alpha\in V$有
  \[
    \sA(\alpha)=\alpha-2\pair{\eta, \alpha}\eta.
\]
\end{example}

  \begin{exercise}
  设$\eta$是欧氏空间$V$中一单位向量，定义线性变换
  \[
    \symscr{A}_{\eta}\colon V\rightarrow V, \alpha\mapsto \alpha-2\pair{\eta, \alpha} \eta.
  \]
  \vspace{-1.5em}
  \begin{enumerate}
    \item 证明$\symscr{A}_{\eta}$是第二类正交变换（$\symscr{A}_\eta$这样的正交变换称为镜面反射）。
    \item 证明$V$上的线性变换$\symscr{A}$是镜面反射当且仅当存在$V$的标准正交基使得$\symscr{A}$在该基下的矩阵为$\diag(-1, 1, \cdots, 1)$.
    \item 假设$V$上的正交变换$\symscr{A}$以$1$为特征值，且属于特征值$1$的特征子空间的维数为$n-1$. 证明$\symscr{A}$是镜面反射。
  \end{enumerate}
\end{exercise}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{exercise}
  \begin{enumerate}
\item 设$\alpha, \beta$是欧氏空间中两不同的单位向量，证明存在镜面反射$\symscr{A}$使得$\symscr{A}\alpha=\beta$.
\item  证明欧氏空间上的正交变换可表示为一系列镜面反射的乘积。
  \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}\label{10C} 
  设$\alpha_1, \cdots, \alpha_m$和$\beta_1, \cdots, \beta_m$是欧氏空间$V$中两个向量组。
  证明存在$V$上的正交变换$\symscr{A}$使得对任意的$i$有$\symscr{A}(\alpha_i)=\beta_i$ 
  当且仅当对任意的$i$有$\pair{\alpha_i, \alpha_j}=\pair{\beta_i, \beta_j}$.

  这个事实可以用矩阵的语言等价地描述为：若$A, B\in \bR^{m\times n}$, 那么
  存在正交矩阵$U\in \bR^{m\times m}$使得$UA=B$当且仅当$A^{\rT}A=B^{\rT}B$.
\end{exercise}



\end{frame}

\begin{frame}{小结}

  \begin{enumerate}
    \item 何为正交变换？
    \item 有哪些性质可刻画一个欧氏空间上的线性变换为正交变换？
    \item 正交变换有哪些性质？
    \item 何为第一类、第二类正交变换？
  \end{enumerate}
  
\end{frame}
